Por: José C. Nieves-Pérez

Uno de los métodos más conocidos y utilizados para aproximar π es la fórmula de Leibniz para π:

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …

Esta fórmula es una serie infinita que converge a π/4 a medida que se suman más términos. Cuantos más términos sumes, más precisa será la aproximación.

Otro método popular es el método de Arquímedes, que se basa en calcular el perímetro de polígonos regulares inscritos y circunscritos en un círculo. A medida que se aumenta el número de lados del polígono, la aproximación de π se vuelve más precisa.

Además, hay fórmulas matemáticas más avanzadas, como la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP), la fórmula de Gauss-Legendre y otras, que permiten calcular π con una alta precisión utilizando técnicas más sofisticadas.

La fórmula de Leibniz para aproximar π es una serie infinita alternante que fue propuesta por el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII. La fórmula utiliza una serie de fracciones alternantes para calcular una aproximación de π/4. La fórmula se ve así:

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …

Cada término de la serie alterna entre sumar y restar fracciones sucesivas de la forma 1/n, donde n es un número impar. A medida que agregamos más y más términos a esta serie infinita, la suma converge hacia π/4. Cuantos más términos sumamos, más precisa es la aproximación.

Para comprender mejor cómo funciona esta fórmula, veamos los primeros términos:

• 1: Sumamos 1 al total.
• -1/3: Restamos 1/3 al total.
• 1/5: Sumamos 1/5 al total.
• -1/7: Restamos 1/7 al total.
• 1/9: Sumamos 1/9 al total.
• …

A medida que continuamos agregando términos, la suma total se va acercando cada vez más a π/4. Sin embargo, es importante tener en cuenta que aunque esta fórmula es fácil de entender y calcular, converge relativamente lenta en comparación con otros métodos más avanzados. Esto significa que necesitamos agregar una gran cantidad de términos para obtener una aproximación precisa de π.

Para obtener una aproximación más precisa de π, simplemente sigues sumando y restando términos en la serie. Cuantos más términos agregues, más decimal places precisos obtendrás en tu aproximación. La fórmula de Leibniz es un ejemplo clásico de cómo las series infinitas pueden utilizarse para calcular constantes matemáticas importantes como π.

El método de Arquímedes para aproximar π es otro enfoque clásico que utiliza polígonos regulares inscritos y circunscritos en un círculo para obtener una aproximación cada vez más precisa de π. Este método fue desarrollado por el antiguo matemático griego Arquímedes y es conocido como el «método de cuadratura de Arquímedes». Aquí está la idea básica detrás del método:

1. Considera un círculo con radio r y centro en el origen del sistema de coordenadas.
2. Dibuja un polígono regular con n lados inscrito en el círculo. Esto significa que todos los vértices del polígono tocan la circunferencia del círculo.
3. Calcula el perímetro del polígono inscrito. Esto se puede hacer multiplicando la longitud de un lado del polígono (que es la distancia entre dos vértices consecutivos) por el número total de lados (n).
4. Dibuja otro polígono regular con n lados circunscrito al círculo. En este caso, el círculo pasa por los vértices del polígono.
5. Calcula el perímetro del polígono circunscrito de la misma manera que lo hiciste para el polígono inscrito.
6. Repite los pasos 2 al 5, aumentando el número de lados n del polígono en cada iteración. A medida que n se vuelve más grande, los polígonos se aproximarán cada vez más a la forma de un círculo.
7. La aproximación de π se obtiene al comparar los perímetros de los polígonos inscrito y circunscrito. A medida que n aumenta, la diferencia entre estos perímetros disminuirá, y la relación entre ellos se acercará a π.

El método de Arquímedes es efectivo porque permite utilizar polígonos regulares para estimar tanto el valor mínimo (π subestimado) como el valor máximo (π sobreestimado) del número π. Al comparar estos valores, se puede obtener una aproximación más precisa de π.

A medida que se aumenta el número de lados n en los polígonos, la aproximación de π mejora. Sin embargo, el método sigue siendo una aproximación y requiere cálculos repetitivos para lograr alta precisión. Es importante mencionar que en la práctica, este método puede ser bastante laborioso para obtener una aproximación muy precisa de π, especialmente en la época de Arquímedes.