Por: José C. Nieves-Pérez

07/30/2024

Los números irracionales y trascendentales, como π y e, poseen propiedades matemáticas fascinantes que los hacen especialmente interesantes en varios campos, incluida la criptografía. Aunque estos números no se usan directamente en la mayoría de los algoritmos criptográficos modernos, su comportamiento y características proporcionan una rica fuente de inspiración y analogías para el desarrollo de técnicas criptográficas seguras. Este artículo explora estas conexiones y discute cómo estas propiedades pueden influir en el diseño de sistemas criptográficos.

Números Irracionales y Trascendentales: Definiciones y Propiedades

«Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos números enteros.» (“¿Cuáles son los números irracionales?| Definición y ejemplos”) Su expansión decimal es infinita y no periódica, lo que significa que no se repiten en patrones predecibles. Ejemplos clásicos de números irracionales incluyen sqrt (2)​, π y e. En particular, π es el cociente de la circunferencia de un círculo con su diámetro, y e es la base de los logaritmos naturales, ambos siendo fundamentales en muchas áreas de matemáticas y física.

Los números trascendentales son una subcategoría de los irracionales. Además de no ser expresables como fracciones, no son soluciones de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Tanto π como e son trascendentales, lo que los coloca en una categoría de números con una complejidad matemática aún mayor. Esta complejidad los hace interesantes desde una perspectiva criptográfica, donde la seguridad a menudo depende de la dificultad de resolver ciertos problemas matemáticos.

Aleatoriedad y Expansiones Decimales

Una de las razones por las cuales los números irracionales y trascendentales capturan la atención de los criptógrafos es su expansión decimal no repetitiva e infinita. Aunque estas secuencias no son verdaderamente aleatorias (porque son completamente determinadas por la definición del número), su falta de periodicidad hace que parezcan aleatorias. En criptografía, donde la aleatoriedad es esencial para generar claves seguras y datos cifrados impredecibles, estas propiedades son valiosas.

Por ejemplo, algunas técnicas para generar números pseudoaleatorios, esenciales en criptografía para la creación de claves y otros elementos, pueden utilizar constantes irracionales o trascendentales como semillas. Aunque utilizar estas constantes no garantiza seguridad (dado que la secuencia resultante es determinista si se conoce la semilla), pueden contribuir a la complejidad y a la imprevisibilidad del sistema.

Generación de Números Aleatorios

La generación de números aleatorios de alta calidad es crucial en la criptografía para garantizar que los atacantes no puedan predecir o reproducir claves criptográficas. Las expansiones decimales de números irracionales y trascendentales, como π y e, se han utilizado en ciertos contextos para generar secuencias pseudoaleatorias. Sin embargo, debido a que estas secuencias son deterministas, su uso directo en criptografía se limita generalmente a escenarios donde la semilla inicial está protegida y se combina con otras fuentes de entropía.

En la práctica, los sistemas criptográficos suelen utilizar generadores de números pseudoaleatorios (PRNGs) más sofisticados, que combinan varias fuentes de entropía para producir salidas difíciles de predecir. Sin embargo, la idea de utilizar constantes irracionales como parte de estos sistemas refleja la necesidad de complejidad e imprevisibilidad en el diseño de sistemas seguros.

Constantes Matemáticas en Algoritmos Criptográficos

En algunos algoritmos criptográficos, las constantes matemáticas irracionales y trascendentales se usan para inicializar parámetros o para crear partes de funciones hash. Por ejemplo, algunas funciones hash populares utilizan las primeras cifras de π o e como parte de su construcción interna. Esto se hace bajo la suposición de que estas constantes son difíciles de revertir o predecir, contribuyendo así a la seguridad del algoritmo.

La complejidad matemática inherente de estas constantes ofrece una cierta tranquilidad: son números que no se pueden simplificar fácilmente ni expresar en términos sencillos, lo que hace más difícil encontrar vulnerabilidades basadas en la estructura matemática del algoritmo.

Irracionalidad y Teoría de la Información

La teoría de la información, que es fundamental en la criptografía, se ocupa del estudio de la cantidad de información en una secuencia de datos y su grado de aleatoriedad o entropía. Los números irracionales, debido a su expansión no repetitiva, pueden considerarse como una fuente de alta entropía. Esto es especialmente relevante en criptografía, donde se busca maximizar la entropía para asegurar que los datos cifrados sean lo más impredecibles posible.

Problemas Abiertos y Desafíos Criptográficos

Un interesante problema abierto en matemáticas es si el producto de dos números irracionales, como π×e, es también irracional. Este tipo de problema refleja desafíos similares en criptografía, donde la seguridad a menudo depende de problemas matemáticos difíciles o no resueltos. Por ejemplo, la criptografía de clave pública se basa en la dificultad de problemas como la factorización de grandes números o el logaritmo discreto.

La analogía es clara: así como la irracionalidad y trascendentalidad de números como π y e representan complejidades y desafíos matemáticos, los sistemas criptográficos dependen de problemas matemáticos que son difíciles de resolver sin conocimiento secreto (como una clave privada). Esto garantiza que, incluso si un atacante conoce el algoritmo, sin la clave secreta, romper el cifrado es computacionalmente inviable.